Sequencia Fibonacci Parte 1 A Sequencia de Ouro

As margaridas têm 13, 21 ou 34 pétalas. Os crisântemos têm 34 pétalas. Os girassóis têm suas sementes distribuídas em espirais, normalmente 34 espirais no sentido horário e 55 no sentido anti-horário. O que há de especial com esses números, 13, 21, 34 e 55? São todos números de Fibonacci. O matemático italiano Fibonacci, que viveu entre os anos de 1170 e 1250 é famoso por ter descoberto uma importante sequência numérica, cujos termos são obtidos por uma regra simples: o primeiro número de Fibonacci é 1 e o segundo também é 1. Quanto aos outros termos da sequência, cada um é a soma dos dois termos que o antecedem. A sequência fica assim: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, e assim sucessivamente. Da próxima vez que você vir uma flor, conte suas pétalas! 

Dentre todos os mistérios da Matemática, a sequência de Fibonacci é considerada uma das mais fascinantes descobertas da história.

Observe:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181...

 A Sequencia Fibonacci

Analisada como uma sequência numérica, ela não passa de uma simples organização de numerais que recebem um toque de lógica matemática. Mas o que faz dessa ordem de números, uma descoberta especial, é a sua ligação com os fenômenos da natureza e o valor aproximado da constante 1,6, quociente da divisão entre um número e seu antecessor na sequência, a partir do número 3.

Os grandes estudiosos sempre procuraram a proporção ideal a ser aplicada nas construções e nas artes. E foi com esse propósito que os gregos criaram o retângulo de ouro e os egípcios construíram suas pirâmides. O retângulo obedecia a uma relação entre o comprimento e a largura, sendo a divisão entre eles, igual a 1,6. Esse quociente também era registrado entre as pedras utilizadas na construção das pirâmides, considerando que a pedra inferior seria maior que a superior. Nesse caso, a divisão entre elas também seria 1,6, pois esse valor era considerado um símbolo de perfeição nas construções, chegando a receber o nome de divina proporção.

Fibonacci surge por volta do ano de 1200 estabelecendo a famosa sequência, a partir de observações feitas na evolução da população de um casal de coelhos. Ao observar a beleza da natureza, descobriu a divina proporção em várias plantas, como por exemplo, a espiral da folha de uma bromélia. A espiral cresce na mesma medida que o retângulo de ouro, obedecendo a proporção de 1,618. Veja esquema na ilustração da evolução da espiral:

Folha da bromélia

Espiral

Os retângulos aumentam suas áreas de acordo com a sequência de Fibonacci. Todos eles possuem medidas exatas de acordo com a divina proporção.

Na natureza, observamos a sequência em outras situações, veja:

As espirais de um caracol aumentam de acordo com a divina proporção.

A proporção entre as abelhas fêmeas e machos de uma colmeia, também é respeitada a proporção de ouro.

Os artistas Michelangelo e Leonardo da Vinci aplicaram em suas obras a proporção de ouro, enfatizando em suas artes o número constante 1,6. Da Vinci observou a presença do número de ouro no corpo humano, realizando as seguintes medições:

Altura da pessoa dividida pela altura do umbigo em relação ao solo.

Medida inteira da perna dividida pela altura do joelho até o solo.

Medida do braço inteiro divida pelo tamanho do cotovelo até o dedo.

Medida do dedo inteiro dividida pelo tamanho da dobra central até a ponta.

Outras medições realizadas no corpo humano satisfazem a constante do número de ouro. Em virtude dessa descoberta, clínicas de estéticas realizam cirurgias plásticas faciais em pacientes que desejam enquadrar suas medidas, visando à busca pela perfeição.

Há muita polêmica sobre a profusão de aparições da sequência de Fibonacci e do número áureo na natureza, na arquitetura, nas artes, etc. Essa polêmica não é infundada. Em grande parte dos casos difundidos (especialmente com relação às artes e à arquitetura), a suposta presença de números de Fibonacci ou do número áureo não resiste a uma análise mais profunda e cuidadosa. Por isso é muito importante pesar sempre a origem das informações divulgadas e a confiabilidade das fontes de onde foram retiradas.

No caso das plantas, vários estudos de filotaxia confirmam a presença desses números na constituição de certas espécies,

Ramos de troncos em árvores

Certas plantas mostram os números de Fibonacci no crescimento de seus galhos. Suponhamos que nasça um novo broto de um galho a cada mês, sendo que um broto leva dois meses para produzir o seu primeiro broto.

Existem várias plantas cujo crescimento se parecem com o descrito aqui. A planta Achillea ptarmica possui estas características.

Problema das abelhas

 O macho da família de abelhas é chamado zangão, que é chocado de ovos não fertilizados (partogênese). Em função disso, cada zangão não tem pai mas têm um avô por parte materna. Usando as idéias de sequências de Fibonacci, você saberia calcular o número de ancestrais de um zangão n gerações atrás? Se não souber, faça uma pesquisa na Internet pois existem páginas excelentes sobre o assunto.

Reflexão de luz em uma fibra dupla de vidro

Consideremos dois vidros transparentes colados um sobre o outro e vamos admitir que incida um raio de luz sobre os vidros formando um ângulo oblíquo. O desenho nos mostra a seção transversal dos vidros.

(a) representa um raio de luz genérico; (b) representa um raio de luz que refletiu na superfície interna de contato entre as duas lâminas de vidro e (c) é o caso em que houve reflexão na superfície inferior das lâminas coladas de vidro.
Se a luz é refletida duas vezes, temos uma situação como
Se a luz é refletida três vezes, a situação se parece com

Você saberia indicar o número de possibilidades quando a luz refletir 4, 5, 6, 7, ou, n vezes?

Filotaxia

 Os números de Fibonacci também são encontrados em arranjos de folhas (Filotaxia). Consideremos que exista um padrão helicoidal (para a esquerda ou para a direita) para as folhas em torno do caule. Cada conjunto de 3 folhas consecutivas (1,2,3) nascem formando um mesmo ângulo entre 1 e 2 e entre 2 e 3, mantendo uma certa distância ao longo do caule. Na figura, a folha 3 forma um mesmo ângulo com 2 da mesma forma que a folha 2 forma com 1. Admitimos o mesmo padrão para todas as folhas restantes. Neste exemplo, temos 5 folhas e 2 voltas. Cada volta é entendida como uma rotação de 360^o para que uma folha possa se sobrepor à outra. Para que isto ocorra cada ângulo deverá ser igual a 2x360^o÷5=144^o.

  Identificamos o período p como o número de voltas necessárias até nascer uma nova folha se sobrepondo à primeira e m indicará o número de folhas por período, neste caso, p=2 e m=5. Muitas experiências com plantas mostram que p e m assumem mais comumente valores como 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., que são os números da sequência de Fibonacci. Existem também exceções, mas os números de Fibonacci ocorrem tão frequentamente que não podem ser explicados como casuais. Os biólogos tentaram explicar a predominância dos números de Fibonacci na Filotaxia.

A simetria das folhas pode dar equilíbrio ao caule e também facilitar a exposição à luz, mas a ciência está longe de uma explicação satisfatória.

O homem tem ciência de algumas coisas da terra, mas a sabedoria é dom de Deus! No livro de Jó, Cap.28, Bíblia Sagrada, está escrito:

• "Mas onde se achará a sabedoria? E onde está o lugar da inteligência? O homem não lhe conhece o valor; não se acha na terra dos viventes." (12-13)
• "Donde pois vem a sabedoria e onde está o lugar da inteligência?" (20)
• "Mas disse ao homem: Eis que o temor do Senhor é a sabedoria e apartar-se do mal é a inteligência." (28)

Pode-se analisar o cone de um pinheiro e observar as pétalas que se formam no mesmo. Pode-se observar a formação de dois tipos de espirais, para a esquerda e para a direita. Tais espirais são do mesmo tipo que aquelas estudadas antes. O número de pétalas quase sempre segue os números de Fibonacci. Normalmente um cone de pinheiro possui a espiral apoiada em quadrados iniciais com lados iguais a 5 e 8 ou 8 e 13. As folhas das violetas africanas seguem o padrão de Fibonacci. Uma grande quantidade de flores segue um padrão semelhante ao padrão da sequência de Fibonnaci.

Tome uma margarida, um girassol ou qualquer outra flor e olhe as posições relativas de suas pétalas assim como o núcleo onde fica a região branca na margarida ou as sementes no girassol. No girassol, as espirais são apoiadas em quadrados iniciais com 34 e 55 ou 55 e 89.

Tome um abacaxi e observe as espirais à direita e à esquerda que são formadas na casca do mesmo. Se você retirar a casca do abacaxi, você verá claramente os "olhos" que aparecem junto à parta interna da fruta. Não deixe de comer o abacaxi! Normalmente a espiral no abacaxi está apoiada em quadrados iniciais com lados iguais a 13, 21 ou 34.

Observe o tronco da planta "Agave" que tem folhas com extremidades pontiagudas. Se as folhas forem retiradas você observará claramente as espirais com padrão de Fibonacci.

Pintura e Arte

 Muitos artistas que viveram depois de Phidias usaram a proporção Áurea em seus trabalhos. Da Vinci a chamava: Divina Proporção e a usou em muitos de seus trabalhos. 

Na Mona Lisa observa-se a proporção Áurea em várias situações. Por exemplo, ao construir um retângulo em torno de seu rosto, veremos que este possui a proporção do retângulo Áureo. 

Podemos também subdividir este retângulo usando a linha dos olhos para traçar uma reta horizontal e ter de novo a proporção Áurea. Podemos continuar a explorar tal proporção em várias outras partes do corpo. Artistas têm usado a razão de ouro (medida de Ouro) em trabalhos de pintura e arte. Os trabalhos de Seurat e Mondrian mostram estas relações matemáticas.

Anatomia

Leonardo da Vinci, em seus estudos de Anatomia, trabalhou com um modelo padrão (O canon) para a forma de um ser humano, utilizando Vitrúvio como modelo. Tais dimensões aparecem na gravura abaixo. A notação a:b=c:d é uma proporção.

Arquitetura

Há vários exemplos sobre o modo como o retângulo áureo se ajusta à construção do Parthenon. O Parthenon, agora em ruínas, é um dos templos que foi construído em Athenas por volta dos anos 430-440 a.C. e nele podemos observar a proporção Áurea. A planta do Parthenon mostra que o templo foi construído tendo por base um retângulo com comprimento igual a raiz quadrada de 5 e largura igual a 1.

Neste século, o arquiteto francês Le Corbusier utilizou também de relações harmônicas para projetar estruturas. O padrão utilizado por ele nas relações humanas foi o Modulor, que aparece na gravura abaixo.

Indústria e Comércio

Empresas usam a sequência de Fibonacci de uma forma intuitiva, até mesmo porque as dimensões associadas representam algo bonito e econômico, mas é provável que muitos usuários desta sequência e das relações áureas nem saibam que fazem uso da mesma.

Um cartão de crédito parece ter a forma das medidas áureas, sempre relacionadas com o número Phi. Você já experimentou medir as dimensões aproximadas de um cartão de crédito?

Construiremos um retângulo cujos lados medem 1 e 1,618034..., o retângulo Áureo

Construa um quadrado de lado unitário;
Divida um dos lados do quadrado ao meio;
Trace uma diagonal do vértice A do último retângulo ao vértice oposto B e estenda a base do quadrado;
Usando a diagonal como raio, trace um arco do vértice direito superior do retângulo à base que foi estendida;
Pelo ponto de interseção do arco com o segmento da base trace um segmento perpendicular à base. Estenda o lado superior do quadrado até encontrar este último segmento para formar o retângulo;
Este último é o retângulo Áureo!

Seja um retângulo em que X é a medida do comprimento e Y é a medida da altura do mesmo. Vamos supor que existe uma relação "especial" entre X e Y tal que X:Y=Y:(X+Y). Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, logo:

X.(X+Y) = Y²

e esta relação nos informa que Y é a média geométrica entre X e X+Y. Se calcularmos a razão entre Y e X obteremos Phi. O retângulo com estas dimensões é o retângulo áureo e os segmentos de medidas X e Y são os segmentos áureos. Tais medidas são usadas em testes para avaliar aspectos de beleza em gravuras ou objetos.

Dimensões áureas no homem

Faça uma análise com o uso da gravura abaixo para observar como um ser humano se adapta às dimensões áureas.

Quem foi Fibonacci ?

O matemático Fibonacci viveu de 1170 a 1250 e na verdade chamava-se Leonardo de Pisa. Filho do diplomata italiano Guilielmo, membro da família Bonacci, Leonardo ficou conhecido como Fibonacci, corruptela de filius Bonacci (filho de Bonacci).

Fibonacci nasceu na Itália, mas foi educado no norte da África, onde seu pai trabalhou por algum tempo. Viajando ao lado de seu pai Fibonacci teve contato com os sistemas numéricos que dariam origem ao nosso sistema hindu-arábico enquanto na Europa os números ainda eram representados apenas pelos algarismos romanos. Fibonacci percebeu as vantagens destes sistemas e, quando regressou à Europa, escreveu sobre eles em seu livro mais famoso, o Liber Abaci, de 1202.

A contribuição de Fibonacci para o conhecimento matemático de sua época foi reconhecida por Frederico II, então imperador do Sacro Império Romano Germânico. Financieiramente, o matemático também foi apoiado por um decreto da República de Pisa que em 1240 outorgou a Fibonacci um salário em reconhecimento aos serviços que havia prestado à cidade através do aconselhamento sobre temas de contabilidade e da transmissão de conhecimentos aos seus cidadãos. Esse decreto é o único documento conhecido que se refere à Fibonacci.

A construção matemática mais famosa atribuída ao matemático é a sequência de Fibonacci.

Fontes:
- Fibonacci wikipedia
- Matematica - Sequencia fibonacci
- Matematica da natureza
- Sequencia Fibonacci